高斯随机场简介

高斯随机场用于描述现实中具有高斯分布特征的随机场变量。与高维高斯分布不同，高斯随机场保留了场变量连续性的特征，更适合描述现实场景。

在概率论中，由样本空间$\Omega =\{0,\dots ,G-1{\}}^n$取样构成的随机变量$X_i$所组成的$S=\{X_1,\dots ,X_n\}$。若对所有的$\omega \in \Omega$,$\pi (\omega )>0$均成立，则$\pi$为一个随机场。

高斯随机场

首先，一个随机向量$X=(X_1,\dots ,X_m)$是高维高斯分布的，如果${\sum }_i{c}_i{X}_i$是高斯的对一切$c_i$选取成立。

一个随机场$ϵ(x)\in {\mathbb{R}}^N$ 是高斯随机场如果$ϵ(x_1),\dots ,ϵ(x_m)$是多维高斯分布，对一切$x_i\in M\subset {\mathbb{R}}^N$. 特别的，零均值的高斯随机场是$\mathbb{E}ϵ(x)=0,\forall x\in M$，此时协方差函数为$R(x,y)=\mathbb{E}ϵ(x)ϵ(y)$,方差函数为$R(x,x)$。

高斯随机场的生成

傅里叶变换

假设一个函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是周期的，周期为$L_x$,则f的傅里叶变换定义为 $$\hat{f}\left(k_n\right)={\int }_{x=0}^{L_x}f(x)e^{-i{k}_{n}x}dx,k_n=n\frac{2\pi }{L_x}=n\Delta k,n\in \mathbb{Z}$$ 逆变换定义为 $$f(x)=\frac{\Delta k}{2\pi }\sum _{k_n=-\infty }^{\infty }\hat{f}\left(k_n\right)e^{i{k}_{n}x}$$

离散傅里叶变换

我们只知道f在等距离散网格点$\{x_j\},x_j=j\Delta x=j\frac{L_x}{N_x}$，则我们用离散积分逼近连续积分，定义离散傅里叶变换与反变换 $$\begin{array}{rl}\hat{f}\left(k_n\right)& =\Delta x\sum _{j=0}^{N_x-1}f\left(x_j\right)e^{-i{x}_j{k}_n}\\ f\left(x_j\right)& =\frac{\Delta k}{2\pi }\sum _{n=0}^{N_x-1}\hat{f}\left(k_n\right)e^{i{x}_j{k}_n}\end{array}$$ 二维的离散傅里叶变换为 $$\begin{array}{rl}\hat{f}(k,m)& =\Delta x\Delta z\sum _{x,z}f(x,z)e^{-i(kx+mz)}\\ f(x,z)& =\frac{\Delta k\Delta m}{(2\pi {)}^2}\sum _{k,m}\hat{f}(k,m)e^{i(kx+mz)}\end{array}$$

复值高斯随机场的生成

考虑生成一个复值平稳的零均值高斯随机场$\varphi (x):[0,L_x]\to \mathbb{C}$,协方差函数为$C(x)=\mathbb{E}[\varphi (x_0)\bar{\varphi }(x_0+x)]$。考虑协方差函数的傅里叶变换$\hat{C}(k)=FT(C)$,如果我们在一个等距网格上考虑它，那么此时$\hat{C}(k)$已知，则 $$\hat{\varphi }(k)=\sqrt{\frac{L_x\hat{C}(k)}{2}}\left(A_k+i{B}_k\right),$$ 其中$A_k,B_k$为独立的零均值标准高斯随机变量，此时$\varphi (x)=F{T}^{-1}(\hat{\varphi })$得到我们需要的高斯随机场。

实值高斯随机场的生成

分析复值高斯随机场的性质可以得知，生成一个协方差函数为$2C(x)$的复值高斯随机场并取实部可以得到实值的高斯随机场，但如果$\varphi$是实值的，它的傅里叶变换$\hat{\varphi }$将不是高斯随机场，因为$\widehat{phi}(k)=\bar{\hat{\varphi }}(-k)$，这破坏了对称性，我们通过对0-mode，negative modes特殊处理来恢复 $$\begin{array}{rl}\hat{\varphi }(k)& =\sqrt{L_x\hat{C}(k)}{A}_{k}k=0,N_x/2\\ \hat{\varphi }(k)& =\sqrt{\frac{L_x\hat{C}(k)}{2}}\left(A_k+i{B}_k\right)0<k<N_x/2\\ \hat{\varphi }(k)& =\overline{\hat{\varphi }}(-k)k<0\end{array}$$

高斯随机场的实现

在matlab中可以调用GRF2生成2D 高斯随机场，这里我们转换为python版本

我们以下述为例子生成高斯随机场，作为对比我们直接生成高斯随机变量，对比其等高线图 $$C(x,y)={\tau }^{(2\alpha -2)}(-\Delta +{\tau }^{2}I{)}^{(}-\alpha )(x,y)$$ 可以看到高斯随机场生成的图像更具有连续性，而高斯随机变量适合描述噪声。